Вторая теорема Абеля и суммирование рядов методом Абеля

Если $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}$ сходится в точке $x_{0},$ то $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}$ сходится равномерно на $[0,x_{0}]$

$x \in [0,x_{0}] \Rightarrow x = t x_{0},~t \in [0,1]$ $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}_{0} t^{n} \Rightarrow \left[ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}_{0}~-сходится~по~условию,~t^{n} - монотонно~и~ограниченно \right] \Rightarrow$ по признаку Абеля ряд сходится равномерно.